第20讲：从一元到多元线性回归

数据挖掘与R语言

朱 奇

2026年11月10日

本讲导览

One More Variable, Three Numbers — 项目五·基础版

• 一、前课测验与情境导入 —— 一元的三个数先读熟
• 二、加一个变量 —— 二元系数怎么读、方程怎么写
• 三、换一个变量 —— 变量换了，结论就变了
• 四、综合实战 —— 自己挑第二个变量，比出更好的模型
• 五、课堂总结 —— 学习成果确认与 Exit Ticket

重要

第19讲我们用一个自变量拟合了一条直线。今天把它升级成两个自变量：写法只多一个 +，但系数的读法要多带半句话，而判断模型好坏，全程只用三个数——R²、系数的 p 值、F 检验的 p 值。

本讲有两页练习和一页综合实战要当场动手：每人从 mtcars 里自己挑一个变量放进模型，用那三个数比出结论。全程只用 R 内置数据，不装包、不下载。

本讲学习目标

学完这一讲，你能够：

• 把一元回归写成二元回归：lm(y ~ x1 + x2, data = ...)
• 在 summary() 输出里一次读出三个数：R²、每个系数的 p 值、最后一行 F 检验
• 用答题模板解释二元系数，不漏"在另一个变量不变时"这半句话
• 由 Estimate 列写出回归方程，并代入 newdata 算出预测值
• 换一个自变量重跑一遍，用三个数判断"换得好不好"
• 说清 mpg 越大越省油：系数为负是每加仑行驶里程减少，不是"油耗下降"

一、前课测验与情境导入

第19讲：一元线性回归 → 今天：再加一个自变量

1.1 选择题（每题 1 分钟）

1. lm(销量 ~ 广告费, data = ad_data) 中，~ 左边的 销量 是：

A. 自变量　　B. 因变量（要预测的 y）　　C. 残差　　D. 样本量

2. 第19讲那份广告数据的输出里 Multiple R-squared: 约等于 0.851，意思是：

• A. 差不多 85% 的点正好落在回归线上
• B. 销量的波动里约 85% 能由广告费解释
• C. 预测值有 85% 的概率正确
• D. 广告费与销量相关的概率是 85%

每题给 1 分钟，先让全班举手或写在纸上，再点开答案。第 2 题务必多停半分钟：这是期末试卷"解释 Multiple R-squared 并指出还有多少没被解释"的原话，学生最容易选 A 或 C。数字取自第19讲同一份虚构数据、同一个随机种子，学生翻回上讲能看到一模一样的 0.851。

1.2 填空题（每题 1 分钟）

3. lm() 估计回归系数时，要让 ______ 最小，这种方法叫 ______。

4. 读 summary(m)：系数的估计值看 ______ 列；判断某个变量是否显著，看它这一行的 ______ 值。

提示

今天再加一个数：输出最后一行 F 检验。三个数凑齐，一份回归结果就能读下来了。

第 3 题若没人答出，提示"残差 = 真实值减预测值，我们要让它们的平方加起来最小"。第 4 题直接把屏幕切到后面 2.2 页的三看表，先露一眼，不展开讲。

1.3 本讲唯一的数据：32 辆汽车

mtcars 是 R 内置数据，取自 1974 年美国《Motor Trend》对 32 款车型的测试。本讲只用其中四个变量：

变量	含义	单位
mpg	每加仑汽油能跑多远（数值越大越省油）	英里/加仑
wt	车重	千磅
hp	总马力	马力
disp	发动机排量	立方英寸

mtcars %>%                             # R 内置的 32 辆车数据
  select(mpg, wt, hp, disp) %>%        # 只看本讲要用的四列
  head(4)                              # 先展示前 4 行

                mpg   wt  hp disp
Mazda RX4      21.0 2.62 110  160
Mazda RX4 Wag  21.0 2.88 110  160
Datsun 710     22.8 2.32  93  108
Hornet 4 Drive 21.4 3.21 110  258

警告

mpg 是每加仑能跑多少英里，不是"耗了多少油"。所以车越重，mpg 的数值变小、里程变短，含义才是"更费油"。

说成"车重每增 1 千磅，油耗下降"——方向和单位都反了。应该是"每加仑行驶里程平均减少多少英里"。

单位一定要念一遍：后面解释系数时，"车重每增 1 千磅""马力每增 100"都靠它。这一页的黄色警示框是本讲的术语口径，学生记不住随时回看。

1.4 先看散点图：车越重，每加仑跑得越短

ggplot(mtcars, aes(x = wt, y = mpg)) +      # 数据 + 映射
  geom_point(size = 3, alpha = 0.85,        # 图层：散点
             color = c_navy) +              #       深蓝圆点
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE,    # 图层：直线拟合，不要置信带
              color = c_orange,             #       橙色
              linetype = "dashed") +        #       虚线
  labs(title = "车重与每加仑行驶里程",        # 标题：主语是"里程"
       x = "车重 wt（千磅）",
       y = "每加仑里程 mpg（英里/加仑）")     # 轴名带单位

图 1

本讲的问题：每加仑能跑多远由什么决定？只看车重够不够？要再加一个，该加谁？

读图口径先立住：整张图讲的是"里程变短"，不是"油耗变小"。相关系数 -0.87，可以在图上口算一句"接近 −0.9，强负相关"。

1.5 一元模型 m0：第19讲知识点回顾

m0 <- lm(mpg ~ wt, data = mtcars)    # 一元：只看车重
summary(m0)                          # 三个数全在这里

Call:
lm(formula = mpg ~ wt, data = mtcars)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-4.543 -2.365 -0.125  1.410  6.873 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   37.285      1.878   19.86  < 2e-16 ***
wt            -5.344      0.559   -9.56  1.3e-10 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.05 on 30 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.753, Adjusted R-squared:  0.745 
F-statistic: 91.4 on 1 and 30 DF,  p-value: 1.29e-10

• 斜率 -5.34：车重每增 1 千磅，每加仑行驶里程平均减少 5.34 英里（更费油）
• R² = 0.753：车重解释了里程波动的 75.3%
• F 检验 p < 0.001：这个模型整体显著或有效

重要

R² = 0.753 → 解释了 75.3%，还有 24.7% 没解释（期末要这样写）。这三个数记牢，等会儿和二元模型对账。

读数时指着 summary() 输出的倒数第二行和最后一行。重点训练"R² 要能反过来说出没解释的比例"——期末案例题第②问就是这句。

1.6 车重解释不掉的那部分，还跟着马力走

残差 = 真实值 − 预测值，是模型没解释掉的部分。如果规律抓干净了，残差应该和谁都不相关。

图 2

e0 <- resid(m0)                             # m0 的残差
cor(e0, mtcars$hp)                          # 残差与马力的相关系数

[1] -0.412

-0.41（p = 0.019）：残差还和马力有关 → 一元模型没把话说完 → 请第二个变量进场。

提示

不用记公式，记住一句：残差里还有信息，就还差一个变量。

这是"为什么要多元"的全部理由，讲 2 分钟即可。不引相关系数检验的细节，p 值只需说"不是碰巧"。

二、加一个变量：系数怎么读、方程怎么写

mpg ~ wt + hp：写法只多一个 +，读法多带半句话

2.1 写法只多一个 +

m1 <- lm(mpg ~ wt + hp, data = mtcars)   # 加一个变量：+ hp
summary(m1)                              # 三个数照样看

Call:
lm(formula = mpg ~ wt + hp, data = mtcars)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-3.941 -1.600 -0.182  1.050  5.854 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 37.22727    1.59879   23.28  < 2e-16 ***
wt          -3.87783    0.63273   -6.13  1.1e-06 ***
hp          -0.03177    0.00903   -3.52   0.0015 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 2.59 on 29 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.827, Adjusted R-squared:  0.815 
F-statistic: 69.2 on 2 and 29 DF,  p-value: 9.11e-12

• + 读作"和"：把 hp 和 wt 一起放进模型，不是数学加法
• 输出和第19讲长得一样，只是系数表多了一行 hp
• 三个数照样看：R²、每行系数的 p 值、最后一行 F 检验

不写抽象公式、不谈"拟合平面"，本讲只要求会写代码、会读表。

2.2 读懂一份 summary()，只盯三个数

看哪里	本例	回答什么	期末怎么答
倒数第二行	Multiple R-squared = 0.827	y 的变异解释了百分之几	写出"解释了 82.7%，还有 17.3% 没解释"
系数表每行	Pr(>|t|)：wt < 0.001、hp = 0.0015	这个变量自己有没有用	p < 0.05 就算有用
最后一行	F-statistic 的 p < 0.001	整组变量一起有没有用	写"模型整体显著"

提示

R² 加任何变量都只涨不跌，所以比模型时顺带看一眼 Adjusted R-squared（它给多用的变量扣分）。除此之外，今天不比别的。

这一页是全课的工具箱，讲 4 分钟。带着学生在 summary 输出上用手指依次点出三处位置。F 检验藏在最后一行，最容易被漏掉，务必点一次。调整R² 只给一句口诀，不讲公式。

2.3 二元系数怎么解释：每个都要带半句话

系数	估计值	完整读法
wt	-3.88	在马力相同的前提下，车重每增 1 千磅，每加仑行驶里程平均减少 3.88 英里（更费油）
hp	-0.0318	在车重相同的前提下，马力每增 1，里程平均减少 0.0318 英里；增 100 马力约减少 3.18 英里

答题模板（照着填就行）：

在【另一个变量】保持不变时，【x】每增加 1 个【单位】，【y】平均变化【系数】个【单位】。

警告

✗ 错：车重每增 1 千磅，油耗降 3.88。（少了前提，还把 mpg 的方向说反了） ✓ 对：马力不变时，车重每增 1 千磅，每加仑行驶里程平均减少 3.88 英里。

本讲最重要的一页，讲足 5 分钟。先让一位学生照模板把 wt 念一遍，再让另一位念 hp，全班纠正两件事："前提"有没有带上、单位说的是不是"里程"。提醒：试卷里"解释 pop15 回归系数的含义"就是这一句 2 分，漏掉前提要扣分。hp 系数太小不好念，顺手教"增 100 马力"的换算，这也是考试里常见的问法。

2.4 从回归结果写出回归方程

第一步：抄 Estimate 列的三个数（多显示几位，方便对照）

round(coef(m1), 4)                         # 截距、wt、hp 三个估计值

(Intercept)          wt          hp 
    37.2273     -3.8778     -0.0318 

第二步：按顺序写成方程 —— 截距 + 两个斜率，负号别丢

\[\widehat{mpg} = 37.23 - 3.88 \times wt - 0.0318 \times hp\]

重要

左边写 \(\widehat{mpg}\)（预测值），不是真实的 mpg；三个数字从 Estimate 那一列原样搬过来。期末"写出回归公式"就是这一步。

讲 4 分钟。让学生当场把三个数抄在纸上，再照着写成方程，这是期末 1 分题的标准动作。强调顺序：截距 → wt 的系数 → hp 的系数，别把两个斜率对调；负号最容易漏。

2.5 用方程算一次预测

代入一辆车：wt = 3（千磅）、hp = 150（马力）

\[37.23 - 3.88 \times 3 - 0.0318 \times 150 \approx 20.82\]

predict(m1,                                     # 用 m1 做预测
        newdata = data.frame(wt = 3, hp = 150))  # 两个 x 都要给

   1 
20.8 

重要

按方程手算约 20.82，predict() 给 20.83 英里/加仑——零头是系数只取两位小数造成的，以 R 的完整精度为准。含义：车重 3 千磅、马力 150 的车，每加仑行驶里程预测约 20.83 英里。期末"写出预测值并解释含义"就是这句。

注记

两个 x，newdata 就要给两列，列名必须和 lm() 里完全一致。

讲 3 分钟。先让学生自己按方程按计算器，再跑 predict() 对答案。若有人算出 20.82，正好借机讲一句舍入误差。试卷第五步 predict(model, newdata = data.frame(pop15 = 30, ddpi = 2)) 就是同一写法。

2.6 一元 vs 二元：三个数对账

	m0：mpg ~ wt	m1：mpg ~ wt + hp	变了什么
R²	0.753	0.827	没解释的从 24.7% 降到 17.3%
wt 系数	-5.34	-3.88	缩水 27%
hp 的 p 值	——	0.0015	新变量自己有用
F 检验 p	< 0.001	< 0.001	整体一直有用

提示

一元和二元的差别就在这张表：多一行系数、R² 涨了、老系数被"修正"。老系数为什么缩水？重的车往往马力也大（r = 0.66），hp 分走了一部分原本记在 wt 名下的功劳——系数跟着它所在的模型走，不是算错了。

只讲这一张表，2 分钟。不要引"多重共线性"这个词，用"分走功劳"的说法就够。

2.7 【练习】再加一个变量试试：换成 drat

照抄 2.1 的代码（模仿），把 hp 换成 drat（后轴传动比，mtcars 里现成的第三列），跑 summary()（练习）：

lm(mpg ~ wt + drat, data = mtcars) %>%   # 换成 drat 再跑一次
  summary()                              # 只看三个数

只回答两个问题：drat 这一行的 p 值过 0.05 了吗？Adjusted R-squared 比一元的 0.745 高了还是低了？

3 分钟。这题只用到 2.1 教过的写法（把 hp 改成 drat）和 2.2 教过的三个数，没有新参数。答案页要点是"调整 R² 会掉"——这是本讲第一次让学生看到加变量可能白加。

三、换一个变量：结论会跟着变

把 hp 换成 disp：同样是二元模型，结果不一样

3.1 换个变量，写法不变

m2 <- lm(mpg ~ wt + disp, data = mtcars)  # 把 hp 换成 disp
summary(m2)                               # 三个数照样看

Call:
lm(formula = mpg ~ wt + disp, data = mtcars)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-3.409 -2.324 -0.768  1.772  6.348 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 34.96055    2.16454   16.15  4.9e-16 ***
wt          -3.35083    1.16413   -2.88   0.0074 ** 
disp        -0.01772    0.00919   -1.93   0.0636 .  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 2.92 on 29 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.781, Adjusted R-squared:  0.766 
F-statistic: 51.7 on 2 and 29 DF,  p-value: 2.74e-10

• 系数表还是三行，只是 hp 换成了 disp
• disp 的 p = 0.0636，按 0.05 的口径没站住（差一点点过线，别说成"完全没关系"）
• R² = 0.781，比 m1 的 0.827 低

1 分钟，只让学生找两个数：disp 那一行的 p 值、倒数第二行的 R²。

3.2 三个模型摆一起：变量不同，结论就不同

模型	第二个变量	它的 p 值	R²	Adjusted R²
m0	——	——	0.753	0.745
m1	hp	0.0015	0.827	0.815
m2	disp	0.0636	0.781	0.766

重要

别只挑"和 y 相关最强"的那个：disp 与 mpg 的相关是 -0.85，绝对值比 hp 的 -0.78 还大，换进来反而更差。相关强弱只是入场推荐，能不能带来新信息才是关键。

两分钟。表格只比这四列，不要再往里加 σ、AIC。结论落在"换变量不是随便换"，为 3.3 的原因铺垫。"绝对值"三个字要念出来：两个都是负相关，比的是谁更靠近 −1。

3.3 为什么 disp 不行：它和 wt 太像了

cor(mtcars$wt, mtcars$disp)                  # 两个自变量的相关

[1] 0.888

ggplot(mtcars, aes(x = wt, y = disp)) +      # 车重 vs 排量
  geom_point(size = 3, alpha = 0.85,        # 图层：散点
             color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE,    # 图层：直线
              color = c_orange,
              linetype = "dashed") +
  labs(title = "两个自变量在说同一件事",
       x = "车重 wt（千磅）", y = "排量 disp（立方英寸）")

图 3

r = 0.888 —— 两个自变量几乎在说同一件事，谁也分不清功劳该记给谁，于是 disp 自己就不显著了。

提示

一句话记住：换变量要看它能不能带来车重给不了的新信息，不是看它跟 y 相关多高。更细的判断留到后面的课程。

讲 2 分钟，不出现 VIF、标准误、共线性这些词。用"两个人在抢同一份功劳"打比方就够了。

3.4 【练习】自选一个变量，比出三个数

从 mtcars 里自己挑一个还没用过的变量（qsec 1/4 英里加速时间，秒；cyl 气缸数；am 自动挡；gear 挡位数；vs 发动机形状；carb 化油器数），照 3.1 的写法跑一遍（实战）：

lm(mpg ~ wt + qsec, data = mtcars) %>%   # 把 qsec 换成你选的变量
  summary()

在纸上填三格，然后和邻座对一下选的变量是否相同：我选的变量／它的 p 值／调整 R² 比一元的 0.745 高还是低。最后每人说一句"这个变量加得好不好"。

6 分钟动手 + 2 分钟对照。学生挑的变量各不相同，正好把表格当成"全班成绩单"讲一遍：谁挑到了站得住的变量、谁挑的是白加。cyl 略优于 hp，若有学生挑到，顺势说明"4、6、8 其实是类别，怎么进方程是第21讲的事"，不要展开。

3.5 最后看一眼：模型剩下的东西

plot(m1, which = 1, id.n = 0)               # 拟合值 vs 残差图

残差 = 真实值 − 预测值。健康的样子：点随机撒在 0 线上下，红线大致是平的。

m1 的红线有点 U 形：说明直线的"形状"还没抓到位。换变量治不了它，下一讲用对数变换处理。

注记

今天的诊断就这一张图 + 前面那三个数，够了。

1 分钟，不展开异方差、正态性、影响点。只留"看形状"这一个直觉，顺便给下一讲留钩子。这个 U 形是真实的：把残差对拟合值再配一条二次项，p 值只有 0.0006；对 mpg 取对数后重跑，弯曲就消失了。

四、综合实战：自己挑第二个变量，比出更好的模型

四步走一遍，正好是期末案例题的四个采分点

4.1 动手实战（约 8 分钟）

用你在 3.4 挑的那个变量，把四步做完（实战，不是看老师做）：

1. 写方程 —— round(coef(模型), 4)，抄三个数，负号别丢
2. 读系数 —— 两个斜率各念一遍，都带上"在另一个变量不变时"
3. 比三个数 —— 与 m1 比 R²、调整 R²、新变量的 p 值，说一句谁的模型更好
4. 算预测 —— 代一辆你编的车，newdata 两列列名和公式里逐字一致

8 分钟巡视。重点抓两件事：模板那半句话有没有带上，newdata 列名有没有写错。挑两个学生准备上台，一个"加得好"、一个"白加"，形成对照。

4.2 参考做法：wt + qsec 全程走一遍

答案页只在教师版（show-answers: true）出现，学生版靠投影口述。四个采分点与试卷第五大题一一对应，收口时明确告诉学生"这就是期末那 6 分"。

4.3 课堂展示

抽 2 位同学上台，各 2 分钟，只讲自己模型的第 1 步和第 3 步：方程 + 三个数。

台下同学按 4.1 的验收标准点评两件事：那半句话带了吗？单位说的是里程还是"油耗"？

提示

被挑到"白加"变量的同学，请这位补一句：调整 R² 掉到哪里去了，为什么这算模型变差。

点评环节把评分口径交给学生自己说，比老师重复一遍有效。控制在 6 分钟内。

五、课堂总结、学习成果确认与 Exit Ticket

三个数、一句话模板、一套四步

5.1 本讲小结

1. 一元 → 二元：多一个 +，多一行系数；R² 从 0.753 涨到 0.827、老系数被修正
2. 系数解释：每个都要带"在另一个变量不变时"，mpg 读作每加仑行驶里程减少，照模板答
3. 写方程：抄 Estimate 三个数 → \(\widehat{y} = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2\) → 代入算预测（20.83 英里/加仑）
4. 比模型只看三个数：R²、系数的 p 值、F 检验的 p 值；换变量要看有没有带来新信息

5.2 学习成果自查

对照一下，今天这几件事你都做到了吗？

• ✓ 能独立把 lm(y ~ x1) 改成 lm(y ~ x1 + x2) 并跑通 summary()

• ✓ 能在输出里一次指出三个数：R²、每行系数的 p 值、最后一行 F 检验

• ✓ 能用模板解释二元系数，不漏"在另一个变量不变时"，并把 mpg 说成里程而不是"油耗"

• ✓ 能由 Estimate 写出回归方程，负号不丢，左边带"帽子"

• ✓ 能给 newdata 补齐两列、列名逐字一致，算出预测值并解释含义

• ✓ 能从 mtcars 自选变量，用调整 R² 判断"加得值不值"

5.3 Exit Ticket —— 写给自己的三个问题

请花 1 分钟，在纸条或在线问卷上简要回答：

1. 用一句话解释 m1 里 wt 的系数（-3.88），不许丢那半句话，也不许说"油耗下降"。
2. 读一份回归输出，三个数分别在哪三处？
3. 换一个自变量时，你要问自己的那个问题是什么？

逐条点开 5.1，每条让学生报一个今天的数字（如第 3 条的 20.83）。Exit Ticket 第 1 题是最容易失分的，收条时抽看两份。

下讲预告

项目五：虚拟变量、对数变换与随机抽样

• 文字类别（如 A/B/C 评级、自动挡/手动挡）怎么进回归方程
• 对数变换：把今天这张 U 形残差图拉直
• 随机抽样与训练/测试集：模型评估如何"防作弊"

提示

课前准备：把你今天的模型代码留在 .qmd 里，下节课接着改。今天这三个数——R²、系数的 p 值、F 检验——下节课照样用。

谢谢！

第20讲：从一元到多元线性回归 —— 项目五

会读系数，会写方程，会拿三个数比模型。

朱 奇 ｜ 锦城大学 · 财会学院