第21讲：虚拟变量、对数变换与随机抽样

数据挖掘与R语言

朱 奇

2026年11月11日

本讲导览

Logs, Categories and a Test Set — 项目五收口课

主要内容

• 一、随堂测验 —— 先把第20讲的三个数对完账
• 二、为什么需要对数变换 —— 散点弯了，非线性关系
• 三、四、五、对数三形态 —— level-log / log-level / log-log，各配一张图
• 六、分类自变量 —— 两类开关、\(k-1\) 规则、参照组、控制变量的净效应
• 七、rsample —— 一页示意
• 八、随堂练习 —— 本讲三题，当堂做，参考答案只在教师版
• 九、课堂总结 —— 尺度、类别、验收各一句

重要

• 第19～20讲我们介绍了线性回归模型，如果不是线性关系：①尺度（取对数，转换成线性关系）；

• 前面都是数值型变量，如果是分类变量：②类别（"有促销"和无促销）；

• 如何将数据拆分成训练集和验证集：③验收（别用同一批数据既建模又打分）。

• 本讲内容不考试，目标是"会写、会读、会比"，不推公式。

• 多模型对比：模型一多就要排成一张表对账——本讲用 modelsummary() 把多个模型并排，系数、标准误、R² 一次看全。

学完这一讲你能做到

• 判断什么时候该取对数，写出 lm(y ~ log(x))、lm(log(y) ~ x)、lm(log(y) ~ log(x))
• 三种形态三种读法：每 1% 几个单位 / 百分之几 / 弹性；预测时记得 exp() 还原
• 用 factor(levels = , labels = ) 把类别列转成因子放进 lm()，解释每个虚拟变量系数（照样带"在……不变时"）
• 说清 \(k\) 个类别为什么只生成 \(k-1\) 个系数、没出现那一类去了哪里、换参照组什么不变
• 用 modelsummary() 排一张表，并说出哪几列的 R² 可以比大小
• 用 initial_split() 切训练/测试集，在测试集上做样本外预测

开工前：先装包

# 本讲要用的包（装过一次即可，下次只跑 library）
# install.packages(c("modelsummary", "rsample", "patchwork"))

library(modelsummary)    # 多模型对账表：本讲每节都有一张
library(rsample)         # 随机划分训练/测试集（第七节现场加载）
library(patchwork)       # 两张图并排：第18讲学过

注记

本讲数据：四份 set.seed() 模拟数据（广告、工资、价格、促销）+ 内置 mtcars，造数代码在各节第一页当场可见。dplyr、ggplot2 已随 library(tidyverse) 一起来，不必单装；机房断网时 modelsummary 的表会退化成裸表格，不影响读系数。

一、随堂测验

先把第20讲的三个数对完账，再开始今天的内容

1.1 选择题（每题 1 分钟）

Call:
lm(formula = mpg ~ wt + hp, data = mtcars)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-3.941 -1.600 -0.182  1.050  5.854 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 37.22727    1.59879   23.28  < 2e-16 ***
wt          -3.87783    0.63273   -6.13  1.1e-06 ***
hp          -0.03177    0.00903   -3.52   0.0015 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 2.59 on 29 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.827, Adjusted R-squared:  0.815 
F-statistic: 69.2 on 2 and 29 DF,  p-value: 9.11e-12

1. 第20讲 m1 <- lm(mpg ~ wt + hp) 里 wt 的系数是 -3.88。下面哪种读法完整且不错？

• A. 车重每增 1 千磅，油耗平均增加 3.88 英里/加仑
• B. 车重每增 1 千磅，每加仑行驶里程平均减少 3.88 英里
• C. 在马力相同的前提下，车重每增 1 千磅，每加仑行驶里程平均减少 3.88 英里
• D. 在车重相同的前提下，马力每增 1 马力，里程平均减少 3.88 英里

2. 第20讲那张对账表里，mpg ~ wt 的 R² = 0.753，加上 hp 之后 R² = 0.827。关于 R² 说法正确的是：

• A. R² 加了变量只会涨不会跌，所以比模型只看 R² 就够
• B. R² 从 0.753 涨到 0.827，说明 hp 有用
• C. R² 只涨不跌，所以还要顺带看 Adjusted R²（本例 0.745 → 0.815）
• D. R² 等于落在回归线上的点的比例

各 1 分钟，举手后点开答案。第 1 题多停半分钟：漏"前提"、把 mpg 说成油耗是最常见扣分处。

1.2 填空题（每题 1 分钟）

3. 由 summary() 的结果写回归方程时，三个数字都抄 ______ 列；判断某个变量有没有用，看 Pr(>|t|) 列，通常以 ______ 为门槛。

4. 根据模型对新数据做预测，要用：______(m1, newdata = data.frame(wt = 3, hp = 150))。

第 4 题空的是函数名，数字由 R 现算；那句"多一步"就是 4.3 的 exp() 还原。

二、为什么需要对数变换

散点不是一条直线时，lm() 依然只会给你一条直线

2.1 三张散点图：只有一张该用直线

set.seed(42)                            # 本页只看形状，种子固定即可
n <- 200                                # 每张图 200 个点

d1 <- data.frame(x = runif(n, 1, 50)) %>%         # ① 线性
  mutate(y = 5 + 2 * x + rnorm(n, sd = 8))
p1 <- ggplot(d1, aes(x, y)) +
  geom_point(size = 1.5, alpha = 0.5, color = c_navy) +      # 散点
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_green,    # 直线拟合
              linewidth = 1.2) +
  labs(title = "✓ 线性关系", subtitle = "直接用线性回归", x = "x", y = "y")

d2 <- data.frame(x = runif(n, 1, 100)) %>%        # ② 对数增长（收益递减）
  mutate(y = 10 + 30 * log(x) + rnorm(n, sd = 8))
p2 <- ggplot(d2, aes(x, y)) +
  geom_point(size = 1.5, alpha = 0.5, color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_orange,   # 硬拟合的直线
              linetype = "dashed", linewidth = 1.2) +
  geom_smooth(method = "loess", se = FALSE, color = c_blue,  # 真实形态
              linewidth = 1.2) +
  labs(title = "对数增长（收益递减）", subtitle = "橙线很差，蓝线才对",
       x = "x", y = "y")

d3 <- data.frame(x = runif(n, 0, 4)) %>%          # ③ 指数增长
  mutate(y = 2 * exp(x) + rnorm(n, sd = 3))
p3 <- ggplot(d3, aes(x, y)) +
  geom_point(size = 1.5, alpha = 0.5, color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_orange,
              linetype = "dashed", linewidth = 1.2) +
  geom_smooth(method = "loess", se = FALSE, color = c_blue,
              linewidth = 1.2) +
  labs(title = "指数增长", subtitle = "直线严重低估右侧", x = "x", y = "y")

p1 + p2 + p3                            # patchwork：第18讲的并排写法

4 分钟。只问一句：中、右那两张还能用直线吗？解法=换个尺度再画一次（本课不展开非线性回归）。

2.2 该不该取对数 + 三种形态一张表

判断依据不是"老师让取"，而是变量本身的形态：

• 右偏（长尾）：多数值很小、少数值极大——收入、GDP、房价、销售额、资产
• 相对变化比绝对变化有意义：股价、物价、增长率（涨 100 元不算事，涨 10% 才是事）
• 边际效益递减：广告费、培训时长、施肥量——第一份投入效果最猛
• 乘法关系：\(y = a \cdot x^{b}\)（幂函数）、\(y = a \cdot e^{bx}\)（指数）——取对数变加法

警告

取对数有个硬前提：变量必须全为正数。log(0) 是 -Inf、log(-2) 是 NaN，整行数据当场作废。业务表里 0 太常见（当月利润为 0、新增客户为 0），所以取对数前先查最小值：真有 0 就写 log1p(x)（即 \(\ln(x+1)\)），别用均值把 0 填掉，那是伪造数据。

名字	方程	lm() 写法	\(\hat{\beta}_1\) 怎么读	本讲例子
level-log	\(y = \beta_0 + \beta_1 \ln x\)	lm(y ~ log(x))	\(x\) 增 1% → \(y\) 变 \(\hat{\beta}_1/100\) 个单位	广告费 → 销量
log-level	\(\ln y = \beta_0 + \beta_1 x\)	lm(log(y) ~ x)	\(x\) 增 1 单位 → \(y\) 变约 \(\hat{\beta}_1 \times 100\%\)	经验 → 工资
log-log	\(\ln y = \beta_0 + \beta_1 \ln x\)	lm(log(y) ~ log(x))	\(x\) 增 1% → \(y\) 变 \(\hat{\beta}_1\%\)（弹性）	价格 → 需求量

注记

三种写法只有一个区别：log() 包在谁身上。 包 \(x\)，读法跟着 \(x\) 变；包 \(y\)，预测要多一步还原；两边都包，\(\hat{\beta}_1\) 直接就是弹性。变换之后模型仍然对系数线性，summary()、predict()、modelsummary() 全部照用。

本讲的地图页，让学生拍照。三行对应三、四、五节，每节收尾回来指一次。

三、level-log：只对 \(x\) 取对数

广告费 → 销量：\(x\) 每增加 1%，\(y\) 增加几个单位？

3.1 数据长什么样：钱越花越多，销量越涨越慢

set.seed(7)                             # 写死种子：全班数字一样
n <- 80                                 # 80 个月的投放记录
ad_log <- data.frame(广告费 = runif(n, 1, 200)) %>%   # 万元，均匀分布
  mutate(销量 = 10 + 25 * log(广告费) + rnorm(n, sd = 8))  # 万件 + 噪声

p_raw <- ggplot(ad_log, aes(x = 广告费, y = 销量)) +  # 左图：原始尺度
  geom_point(size = 2, alpha = 0.7, color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_orange,   # 硬拟合的直线
              linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_smooth(method = "loess", se = FALSE, color = c_blue,  # 数据真实形态
              linewidth = 1) +
  labs(title = "原始散点：明显是弯的", subtitle = "橙线差，蓝线才对",
       x = "广告费（万元）", y = "销量（万件）")

p_log <- ggplot(ad_log, aes(x = log(广告费), y = 销量)) +  # 右图：x 取对数
  geom_point(size = 2, alpha = 0.7, color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_green,
              linewidth = 1.2) +
  labs(title = "对 x 取对数后：直了", subtitle = "ln(广告费) 与销量线性",
       x = "ln(广告费)", y = "销量（万件）")

p_raw + p_log                           # patchwork：同一数据两种尺度

4 分钟。先问左图"两头怎么样"；右图只换了横轴没换纵轴——这一点决定 3.2 的比较规矩。

3.2 建模、读系数与对账

ad1 <- lm(销量 ~ log(广告费), data = ad_log)   # level-log：只包 x
summary(ad1)$coef          # 紧凑系数表：估计/标准误/t/p/R²在下方

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)     8.09       4.59    1.76 8.17e-02
log(广告费)    25.61       1.02   25.10 4.18e-39

提示

level-log 口诀：\(x\) 每增加 1%，\(y\) 增加约 \(\hat{\beta}_1 / 100\) 个单位。

本例：广告费每增加 1%，销量平均增加 \(\hat{\beta}_1/100 =\) 0.256 万件；广告费翻一番，销量增加 \(\hat{\beta}_1 \times \ln 2 \approx\) 17.75 万件。R 的 log() 默认是自然对数 ln，不是 log10。

警告

最常见的错读："广告费每增加 1，销量增加 25.61"。\(x\) 一旦取了对数，"每增 1 单位"就不存在了，只能问"增 1%"。

ad0 <- lm(销量 ~ 广告费, data = ad_log)          # 直线版（第20讲的老写法）
ad2 <- lm(销量 ~ 广告费 + I(广告费^2), data = ad_log)  # 只为验弯曲：加二次项

modelsummary(list("直线" = ad0, "level-log" = ad1),   # 两个模型并排
             stars = TRUE)                             # 星号标显著性

	直线	level-log
+ p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001
(Intercept)	87.136***	8.087+
	(2.558)	(4.585)
广告费	0.329***
	(0.022)
log(广告费)		25.605***
		(1.020)
Num.Obs.	80	80
R2	0.748	0.890
R2 Adj.	0.744	0.888
AIC	611.5	545.2
BIC	618.7	552.4
Log.Lik.	-302.774	-269.607
F	230.947	629.924
RMSE	10.65	7.04

这张表怎么读（\(y\) 两边都是"销量"、没变，所以可以正相比大小）：R² 0.748 → 0.890，残差标准差 10.72 → 7.08 万件（生成时的噪声是 8）。再拿二次项验弯曲：lm(销量 ~ 广告费 + I(广告费^2)) 的二次项 p = 3.7e-10，确实弯——取对数不是多此一举。

6 分钟。可比的前提要念出来：下一节 \(y\) 变了规矩就得改。翻一番比 1% 好用——50→100 与 100→200 都只多 17.7 万件，这就是边际递减的形状。

四、log-level：只对 \(y\) 取对数

经验 → 工资：\(x\) 增加 1，\(y\) 变化百分之几？

4.1 数据长什么样：工资的增长是"利滚利"式的

set.seed(21)                            # 沿用上学期第12讲的种子
n <- 100                                # 100 位员工的横截面
exp_data <- data.frame(经验年数 = runif(n, 0, 30)) %>%   # 0—30 年
  mutate(工资 = exp(7.5 + 0.06 * 经验年数 + rnorm(n, sd = 0.25)))

q1 <- ggplot(exp_data, aes(x = 经验年数, y = 工资)) +    # 左：原始尺度
  geom_point(size = 2, alpha = 0.7, color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_orange,
              linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_smooth(method = "loess", se = FALSE, color = c_blue, linewidth=1) +
  labs(title = "原始：工资 ~ 经验（上凸）", subtitle = "直线两头都拟合不好",
       x = "工作经验（年）", y = "工资（元/月）")

q2 <- ggplot(exp_data, aes(x = 经验年数, y = log(工资))) +  # 右：y 取对数
  geom_point(size = 2, alpha = 0.7, color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_green, linewidth=1.2) +
  labs(title = "对 y 取对数后：直了", subtitle = "ln(工资) ~ 经验 线性",
       x = "工作经验（年）", y = "ln(工资)")

q1 + q2                                 # 同一份数据，只换纵轴尺度

4 分钟。先让学生猜"这次 log() 包在谁身上"再看代码；顺口问工资右偏吗（回到 2.2 那张清单）。

4.2 建模、读系数，以及"R² 不能比"

ex1 <- lm(log(工资) ~ 经验年数, data = exp_data)  # log-level：只包 y
summary(ex1)$coef        # 左边是 ln(工资)：估计/标准误/t/p 一行一个

            Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)
(Intercept)   7.4782    0.05190   144.1 6.78e-116
经验年数      0.0604    0.00273    22.1  6.34e-40

提示

log-level 口诀：\(x\) 每增加 1 个单位，\(y\) 变化约 \(\hat{\beta}_1 \times 100\%\)。

本例：经验每多 1 年，工资平均高约 6.04%（精确式 \((e^{\hat{\beta}_1}-1)\times100\%\) = 6.2%，\(\hat{\beta}_1\) 小的时候两者几乎一样，大于 0.2 时必须用精确式）。

这就是经济学里最有名的 Mincer 工资方程。生成数据用的真值是 0.06，估出 0.0604——模拟数据的好处：能拿估计值和真值对表。

警告

两个高频错误：① 说成"经验每增 1 年，工资增加 0.0604 元"——左边已经是 \(\ln(\text{工资})\)，不再是元；② 把 0.0604 乘 100 说成"涨 6 个百分点"，单位应是 %（工资 5000 涨 6% 是涨 300 元）。

ex0 <- lm(工资 ~ 经验年数, data = exp_data)         # 直线：y 是元

modelsummary(list("直线" = ex0, "log-level" = ex1), stars = TRUE)

	直线	log-level
+ p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001
(Intercept)	569.354	7.478***
	(364.806)	(0.052)
经验年数	309.618***	0.060***
	(19.167)	(0.003)
Num.Obs.	100	100
R2	0.727	0.833
R2 Adj.	0.724	0.832
AIC	1779.0	1705.5
BIC	1786.8	1713.3
Log.Lik.	-886.511	-0.733
F	260.944	490.352
RMSE	1713.29	0.24

表里 R² = 0.727 和 0.833 不能比大小——一个是"解释了工资的几分之几"，另一个是"解释了 ln(工资) 的几分之几"，分母不是同一个东西。Std. Error 同理（一边是元、一边是对数单位）。

那凭什么说变换有用？ 三条不依赖 R² 的证据：① 4.1 右图那条线直了；② 残差图从"两头正、中间负"的弧形变成随机撒在 0 线上下；③ 直线版残差标准差 1721.9 元（工资高的人更散，喇叭口），log-level 版 0.245（对数尺度上稳定）。板书记一句：比模型，先看 \(y\)。

7 分钟。本讲的"诚实规矩"：3.2 只动 \(x\) 所以可比，这里动了 \(y\) 所以只看残差图。真值 0.06 与估计 0.0604 要当面对一次表。

4.3 预测要多一步：exp() 还原

new_one  <- data.frame(经验年数 = 10)           # 要预测的那个人：10 年经验
pred_log <- predict(ex1, newdata = new_one)     # 模型给的是 ln(工资)
pred_yuan <- exp(pred_log)                      # 反对数：还原成元/月
c(ln值 = round(pred_log, 3), 元每月 = round(pred_yuan, 0))  # 两个数一起印

  ln值.1 元每月.1 
    8.08  3236.00 

重要

模型拟合的是 \(\ln(\text{工资})\)，所以 predict() 出来的是 8.082 这个对数尺度上的数——直接念出来就是错。必须 exp() 还原：约 3236 元/月。

curve_data <- data.frame(经验年数 = seq(0, 30, length.out = 200)) %>%
  mutate(预测工资 = exp(predict(ex1, newdata = pick(经验年数))))  # 逐点还原

ggplot(exp_data, aes(x = 经验年数, y = 工资)) +  # 散点：原始尺度
  geom_point(size = 2, alpha = 0.6, color = c_navy) +
  geom_line(data = curve_data, aes(x = 经验年数, y = 预测工资),
            color = c_green, linewidth = 1.3) +  # 还原后的拟合曲线
  labs(title = "log-level 模型放回原始尺度：一条指数曲线",
       subtitle = "绿线 = exp(截距 + 斜率 × 经验)，正好顺着点走",
       x = "工作经验（年）", y = "工资（元/月）")

5 分钟。案例题最易失分处：predict() 一分、exp() 一分，忘了还原整题零分。收口一句——换个尺子量，量完要换回来。

五、log-log：两边同时取对数

价格 → 需求量：斜率直接就是弹性

5.1 数据长什么样：一条幂函数曲线

set.seed(99)                            # 沿用上学期第12讲的种子
n <- 80                                 # 80 个价格—销量观测
price_data <- data.frame(价格 = runif(n, 5, 100)) %>%   # 元
  mutate(需求量 = exp(8 - 1.3 * log(价格) + rnorm(n, sd = 0.2)))

w1 <- ggplot(price_data, aes(x = 价格, y = 需求量)) +   # 左：原始尺度
  geom_point(size = 2, alpha = 0.7, color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_orange,
              linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  labs(title = "原始：双曲线下坠", subtitle = "直线在低价区严重偏高",
       x = "价格（元）", y = "需求量（件）")

w2 <- ggplot(price_data, aes(x = log(价格), y = log(需求量))) +  # 右：双对数
  geom_point(size = 2, alpha = 0.7, color = c_navy) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = c_green, linewidth=1.2) +
  labs(title = "两边都取对数：一条直线", subtitle = "斜率 = 弹性",
       x = "ln(价格)", y = "ln(需求量)")

w1 + w2                                 # 左：幂函数；右：线性化

4 分钟。生成式 \(y = e^{8 - 1.3\ln x}\) 就是 \(y = e^8 x^{-1.3}\)，教科书上的需求曲线。问：直线为什么两头都错？

5.2 建模：\(\hat{\beta}_1\) 就是弹性，四种写法排成一张表

pr3 <- lm(log(需求量) ~ log(价格), data = price_data)  # log-log：两边都包
summary(pr3)$coef           # 只看斜率那一行：log(价格) 的估计值

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)     7.91     0.1114    71.0 1.25e-72
log(价格)      -1.29     0.0289   -44.5 3.31e-57

提示

log-log 口诀（最省事）：\(x\) 每增加 1%，\(y\) 变化 \(\hat{\beta}_1\%\)。

本例斜率 -1.29（真值 −1.3）→ 价格每涨 1%，需求量平均降约 72.4%。\(|\hat{\beta}_1| > 1\) 富有弹性（涨价很伤销量），\(|\hat{\beta}_1| < 1\) 缺乏弹性（如必需品）。

一句话就能给经营结论：价格翻倍，需求量变成 \(2^{\hat{\beta}_1} - 1 =\) -59.0%——这就是定价会上要的那个数字。

pr0 <- lm(需求量 ~ 价格, data = price_data)           # ① 都不取
pr1 <- lm(需求量 ~ log(价格), data = price_data)      # ② 只取 x
pr2 <- lm(log(需求量) ~ 价格, data = price_data)      # ③ 只取 y

modelsummary(list("① 原始" = pr0, "② level-log" = pr1,
                  "③ log-level" = pr2, "④ log-log" = pr3), stars = TRUE)

	① 原始	② level-log	③ log-level	④ log-log
+ p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001
(Intercept)	119.099***	310.736***	4.788***	7.910***
	(11.447)	(18.678)	(0.094)	(0.111)
价格	-1.500***		-0.032***
	(0.190)		(0.002)
log(价格)		-71.928***		-1.286***
		(4.842)		(0.029)
Num.Obs.	80	80	80	80
R2	0.445	0.739	0.848	0.962
R2 Adj.	0.438	0.736	0.846	0.962
AIC	843.5	783.1	561.0	450.0
BIC	850.6	790.3	568.2	457.1
Log.Lik.	-418.745	-388.574	-34.366	21.164
F	62.500	220.713	435.819	1981.308
RMSE	45.39	31.13	0.37	0.19

这张表要分两组看（规矩：\(y\) 相同才能比）：

• ① vs ②（\(y\) 都是需求量，可比）：R² 0.445 → 0.739 ⇒ 光把 \(x\) 拉直就涨了一大截
• ③ vs ④（\(y\) 都是 \(\ln(\text{需求量})\)，可比）：R² 0.848 → 0.962 ⇒ \(x\) 也该取对数
• ② vs ③、① vs ④ 一律不许比大小：\(y\) 换了尺度，R² 和 AIC 都不是同一把尺子量出来的数

7 分钟。本讲最重要的方法论页，也是"比较模型"答题模板：先分组，再比同组，跨组改看残差图。留 30 秒复述"① 和 ④ 为什么不能比"。

5.3 三种形态的曲线：一眼分清

三种形态只有一个区别——log() 包在谁身上（回到 2.2 那张表）：

形态	长什么样	一句话记忆	本讲例子
level-log	慢慢涨，越涨越平	收益递减	广告费 → 销量
log-level	越涨越快	利滚利（复利）	经验 → 工资
log-log	往下掉的双曲线	弹性，涨价伤量	价格 → 需求量

2 分钟。视觉收口，不再上代码——三张散点图已在 3.1 / 4.1 / 5.1 各看过一次；练习题在 8.1。

六、分类自变量：两类到 \(k\) 类

把"有促销 / 无促销"这样的文字，变成能乘系数的数

6.1 思路：用 0/1 开关代替文字

回归方程只会做乘法和加法，"有促销" 这种文字没法乘系数。办法是配一个 0/1 开关（虚拟变量，dummy variable）：

\[D_{\text{有促销}} = \begin{cases} 1 & \text{有促销} \\ 0 & \text{无促销（参照组）} \end{cases} \qquad \widehat{\text{销量}} = \beta_0 + \beta_1 \times \text{广告费} + \beta_2 D_{\text{有促销}}\]

• 无促销：\(D = 0\) → \(\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 \times\) 广告费
• 有促销：\(D = 1\) → 整条线上移 \(\hat{\beta}_2\)
• 所以 \(\hat{\beta}_2\) = 两组之间的平均差（在广告费相同的前提下）

提示

不用手工造开关。 只要那一列是因子（factor），R 会自动生成开关；levels 里的第一个类别自动成为参照组（基准组），它不出现在系数表里——被藏进截距。

4 分钟。讲透"开关"这一个直觉，务必说清 levels 第一个 = 参照组，并预告 8.2 会验证换参照组什么不变。

6.2 数据长什么样：同一个广告价，两种命运

set.seed(5)                             # 沿用上学期第12讲的种子
n <- 100                                # 100 个月
promo_data <- data.frame(
  广告费 = runif(n, 10, 80),                        # 万元
  促销 = sample(c("无促销", "有促销"), n, replace = TRUE)  # 文字类别
) %>%
  mutate(促销虚拟 = if_else(促销 == "有促销", 1, 0),  # 手工造开关（只为演示）
         销量 = 5 + 1.2 * 广告费 + 15 * 促销虚拟 +     # 真值：促销 +15 万件
           rnorm(n, sd = 6))

ggplot(promo_data, aes(x = 广告费, y = 销量, color = 促销)) +
  geom_point(size = 2, alpha = 0.7) +                # 两组点，同一横轴
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1.2) +  # 各自一条线
  scale_color_manual(values = c("无促销" = c_blue, "有促销" = c_orange)) +
  labs(title = "两条几乎平行的回归线",
       subtitle = "斜率差不多，截距差 ≈ 15：那就是虚拟变量系数",
       x = "广告费（万元）", y = "销量（万件）") +
  theme(legend.position = "top")

4 分钟。手工造开关那一行是故意写的；两条线平行是因为生成式里没有交互项（斜率都是 1.2）。

6.3 建模、读系数与对账

c1 <- lm(销量 ~ 广告费 + 促销, data = promo_data)   # 促销是文字，R 自动转因子
summary(c1)$coef          # 类别那行读作"与基准比"：促销有促销

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)     5.74     1.6166    3.55 5.92e-04
广告费          1.20     0.0299   39.96 4.79e-62
促销有促销     13.89     1.2726   10.92 1.41e-18

提示

促销有促销 = 13.89 的读法（三个要素一个都不能少）：

在广告费相同的前提下，有促销的月份比无促销的月份销量平均高 13.89 万件（p = 1.4e-18）。

这是促销的净效应——已经把"促销月往往多花钱投放"这层影响剥掉了。行名是列名 + 类别名拼出来的，第一次见会懵，指一遍给学生；截距 5.74 是无促销（参照组）那条线的起点。真值 15，估出 13.89。

c0 <- lm(销量 ~ 广告费, data = promo_data)          # 只放钱：促销被漏掉

modelsummary(list("只有广告费" = c0, "广告费 + 促销" = c1), stars = TRUE)

	只有广告费	广告费 + 促销
+ p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001
(Intercept)	11.654***	5.742***
	(2.263)	(1.617)
广告费	1.201***	1.197***
	(0.044)	(0.030)
促销有促销		13.895***
		(1.273)
Num.Obs.	100	100
R2	0.882	0.947
R2 Adj.	0.880	0.946
AIC	735.5	657.4
BIC	743.3	667.8
Log.Lik.	-364.764	-324.688
F	729.127	863.911
RMSE	9.29	6.22

\(y\) 两边都是销量 → 可以比：R² 0.882 → 0.947。注意 广告费 那一行几乎没动（1.201 → 1.197），因为本数据里促销与广告费独立（相关 0.013）。6.9 会遇到"一动就是几倍"的情形，那才是控制变量的重点。

6 分钟。先照模板念一遍系数（漏"在广告费相同的前提下"就重念），再点出 R² 涨了、广告费系数却没动。

6.4 规则：\(k\) 个类别只要 \(k-1\) 个开关

例：营销渠道有三类（线下门店 / 社交媒体 / 搜索引擎），只需要两个开关：

渠道	\(D_{\text{社交媒体}}\)	\(D_{\text{搜索引擎}}\)	预测值
线下门店（参照组）	0	0	\(\hat{\beta}_0\)
社交媒体	1	0	\(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1\)
搜索引擎	0	1	\(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_2\)

• \(\hat{\beta}_0\)：参照组（线下门店）的基准水平
• \(\hat{\beta}_1\)：社交媒体与线下门店相比的差；\(\hat{\beta}_2\) 同理
• 第三个开关去哪了？ 它不需要：线下门店 = "两个开关都是 0"

重要

如果三个开关一起塞进 lm() 会怎样？ 三列之和恒等于 1，与截距那一列完全重复（完全多重共线性），最小二乘无解——6.8 现场演示。

四类、五类……依此类推：永远只放 \(k-1\) 个开关，lm() 会替你处理，但你必须知道参照组是谁，否则系数念不对。

4 分钟。这页只用一张表别上代码，让学生自己填"线下门店那行为什么是 0 0"。

6.5 案例：气缸数（三类）对油耗的影响

mc <- mtcars %>%                                  # 32 辆车
  mutate(cyl_f = factor(cyl, levels = c(4, 6, 8),  # 数值 4/6/8 → 三类因子
                        labels = c("四缸", "六缸", "八缸")))
cyl_m <- lm(mpg ~ cyl_f, data = mc)               # 参照组 = levels 第一个
summary(cyl_m)                                    # 三行：截距 + 两个开关

Call:
lm(formula = mpg ~ cyl_f, data = mc)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-5.264 -1.836  0.029  1.389  7.236 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   26.664      0.972   27.44  < 2e-16 ***
cyl_f六缸     -6.921      1.558   -4.44  0.00012 ***
cyl_f八缸    -11.564      1.299   -8.90  8.6e-10 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.22 on 29 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.732, Adjusted R-squared:  0.714 
F-statistic: 39.7 on 2 and 29 DF,  p-value: 4.98e-09

系数	数值	怎么读（必须带参照组）
截距	26.66	四缸车的平均里程
cyl_f六缸	-6.92，p = 0.00012	六缸比四缸平均少跑这些英里/加仑
cyl_f八缸	-11.56，p = 8.6e-10	八缸比四缸平均少跑这些英里/加仑

警告

标签要写成"四缸/六缸/八缸"这种中文数字：若写 labels = c("4缸","6缸","8缸")，R 会把以数字开头的名字改成 cyl_fX4缸，系数表看起来像乱码。

5 分钟。照模板念系数，追问"为什么只有两行气缸系数、四缸那行去哪了"——参照组进截距。

6.6 图：系数就是"组均值的高度差"

cyl_sum <- mc %>%                                 # 每组的均值与 95% 置信区间
  group_by(cyl_f) %>%
  summarise(均值 = mean(mpg), se = sd(mpg)/sqrt(n()), .groups = "drop") %>%
  mutate(下限 = 均值 - 1.96 * se, 上限 = 均值 + 1.96 * se)

g1 <- ggplot(mc, aes(x = cyl_f, y = mpg, fill = cyl_f)) +
  geom_boxplot(alpha = 0.6, width = 0.5) +        # 左：三组分布
  geom_jitter(aes(color = cyl_f), width = 0.1, size = 2, alpha = 0.7) +
  scale_fill_manual(values = c("四缸" = c_green, "六缸" = c_blue,
                               "八缸" = c_orange)) +
  scale_color_manual(values = c("四缸" = c_green, "六缸" = c_blue,
                                "八缸" = c_orange)) +
  labs(title = "各气缸数的油耗分布", x = "气缸数", y = "mpg") +
  theme(legend.position = "none")

g2 <- ggplot(cyl_sum, aes(x = cyl_f, y = 均值, color = cyl_f)) +
  geom_point(size = 4) +                          # 右：组均值 ± 1.96 se
  geom_errorbar(aes(ymin = 下限, ymax = 上限), width=0.15, linewidth=1) +
  geom_hline(yintercept = cyl_sum$均值[1], linetype = "dashed",
             color = "grey60") +                  # 虚线 = 参照组基准（截距）
  labs(title = "组均值与 95% 置信区间",
       subtitle = "系数 = 各组均值与虚线（四缸）的高度差",
       x = "气缸数", y = "mpg") +
  scale_color_manual(values = c("四缸" = c_green, "六缸" = c_blue,
                                "八缸" = c_orange)) +
  theme(legend.position = "none")

g1 + g2                                           # patchwork 并排

4 分钟。右图虚线就是截距，两个点在虚线下方多少就是那两个负系数：把"系数"拉回"高度差"。

七、随机抽样：给模型留一场开卷考试

rsample 三行：划分 → 训练 → 测试

7.1 一页示意：样本外才算真成绩

library(rsample)                        # 本讲唯一的新包：现场加载
set.seed(42)                            # 种子写进代码，别人才能复现
sp <- initial_split(promo_data, prop = 0.8)   # 随机 8:2 划分
tr <- training(sp)                      # 训练集：模型用它拟合
te <- testing(sp)                       # 测试集：模型从没见过

rs_m <- lm(销量 ~ 广告费 + 促销, data = tr)    # 只在训练集上建模
# 均方根误差：预测值与真实值的平均偏差
rmse <- function(m, d) sqrt(mean((d$销量 - predict(m, newdata = d))^2))
# 训练/测试各打一分：样本外才是真成绩
c(训练集 = round(rmse(rs_m, tr), 2), 测试集 = round(rmse(rs_m, te), 2))

训练集 测试集 
  5.94   7.24 

pred_te <- predict(rs_m, newdata = te)          # 样本外预测
bad_i   <- which.max(abs(te$销量 - pred_te))    # 误差最大的那一行

set.seed(7)                             # 换一组种子重跑：只为验证"结论会漂"
sp7 <- initial_split(promo_data, prop = 0.8)
rs7 <- lm(销量 ~ 广告费 + 促销, data = training(sp7))
rm7 <- c(训练 = round(rmse(rs7, training(sp7)), 2),   # 正文引用，不单独印
         测试 = round(rmse(rs7, testing(sp7)), 2))

• 划分结果：训练 80 行 / 测试 20 行；促销系数在训练集上是 14.04，与全样本的 13.89 接近
• 测试集 RMSE 比训练集大（上面那两个数）——模型在训练集上"背过答案"，样本外才露馅
• 最吃亏的那一行：无促销、广告费 32.29 万元，真实 59.35 vs 预测 44.27 万件

警告

一次划分不稳。 换 set.seed() 再跑，两个 RMSE 会一起变，甚至测试集反而更低（同一段代码把种子换成 7：训练 6.56 / 测试 4.71）。所以报结论要带上"换种子会变"这句自觉，实验报告里必须把 set.seed() 写进代码。

6 分钟。本节只做演示不建流程：记住三行 initial_split() / training() / testing() 和"测试集误差才是成绩"。

八、随堂练习：本讲三题

三题当堂做，参考答案只在教师版显示

8.1 【练习】三种形态该用哪一种

只写形态名（level-log / log-level / log-log / 不变换），一句话说明理由：

1. 分析"客户数随曝光量增长"，第一个 10 万曝光效果最猛，后面越来越平
2. 银行存款按固定年利率复利增长，想知道每年增长百分之几
3. 研究"家庭收入每增加 1%，消费支出增加百分之几"
4. 学生每周学习时长与期末分数，散点看就是一条直线

3 分钟。第 4 题是故意放的陷阱题，收口一句："工具是为问题服务的。"

8.2 【练习】把参照组换成"有促销"

动手（3 分钟）：把 levels 顺序改成 c("有促销", "无促销") 重新拟合，回答三问：

1. 系数表里那一行叫什么名字？数值是多少？
2. 截距变成什么？
3. R² 变不变？fitted() 变不变？

4 分钟。学生自己写、教师巡视。收口两句：符号翻转 ≠ 结论翻转；预测与 R² 跟参照组无关，没出现那一类进了截距。

8.3 【练习】mtcars 的 am：手动挡对油耗的影响有多大

内置数据 mtcars 里 am 是变速箱：0 = 自动挡、1 = 手动挡，共 32 辆车（第20讲用它建过 mpg ~ wt）。做三件事：

1. 用 factor(am, levels = c(0, 1), labels = c("自动挡", "手动挡")) 造一个因子列，拟合 lm(mpg ~ am_f)：参照组是谁？系数怎么读？
2. 用分组均值验一下：自动挡与手动挡的平均里程各是多少，差是多少？
3. 再拟合 lm(mpg ~ wt + am_f)，手动挡那一行的系数和 p 值变成什么？这说明什么？

5 分钟。本讲最像期末案例题的一页：不是手动挡没用，是它的功劳被车重领走了。第 3 问要念到"在车重相同的前提下"才算过。

九、课堂总结：尺度、类别、验收

三样工具各收一句，回家写实验报告 9 时照抄这个顺序

9.1 一张表总结：三样工具，一张地图

场景	R 写法	怎么读	报告交什么
① 左密右疏	lm(y ~ log(x))	x 加 1%，y 加 β₁/100	方程 + 单位
① 利滚利	lm(log(y) ~ x)	x 加 1，y 加 β₁×100%	exp() 还原
① 要弹性	lm(log(y) ~ log(x))	x 加 1%，y 加 β₁%	直接叫弹性
② 促销/气缸	factor(levels = )	与参照组比，k−1 个开关	读法带参照组
③ 怕背答案	initial_split(prop = 0.8)	测试集 RMSE 才算成绩	报误差 + 换种子

3 分钟。竖着读是三条线（①尺度 ②类别 ③验收），横着读是"场景 → 写法 → 读法 → 交什么"；让学生任选一行连成一句话说完。

9.2 常见错误对照表

提示

三句口诀：① 比模型，先看 \(y\)。② 类别进方程，先说参照组。③ 预测要不要 exp()，只看模型左边是什么。

高频错误	正确说法
"广告费每增加 1，销量增加 25.61"	level-log 只能问"增 1%"，\(y\) 变 \(\hat{\beta}_1/100\) 个单位（本例 0.256 万件）
predict() 的对数结果直接当工资	log-level 要 exp() 还原：8.082 → 3236 元/月
跨 \(y\) 比 R²（0.727 vs 0.833）	同 \(y\) 才可比；跨 \(y\) 看散点形态 + 残差图
对可能为 0 的变量直接 log()	log(0) = -Inf 整行作废；先查最小值或用 log1p()
lm(mpg ~ cyl) 把类别当数值	先 factor(levels = , labels = )，读系数带参照组
自己造满 \(k\) 个 0/1 列一起塞	只能 \(k-1\) 个，第 \(k\) 列会被算成 NA
"换了参照组，结论反了"	只改说法：R²、fitted() 不变，系数名称/符号变
说"促销有效"却不控制广告费	类别要与连续变量一起进模型，读成"在……不变时"

3 分钟。三句口诀齐读一遍；错误表逐行指——这张表就是批实验报告 9 时的扣分清单。

9.3 Exit Ticket —— 写给自己的三个问题

请花 1 分钟，在纸条或在线问卷上简要回答（不计分，用来决定第22讲总复习的侧重点）：

1. 三种对数形态各读作什么？任选一种，用一句话把它的 \(\hat{\beta}_1\) 念对。
2. levels 里排在第一个的类别，去哪儿了？（一句话）
3. modelsummary 那张四列表里，为什么前两列的 R² 能比大小、后两列不能？

注记

顺手自查：今天这几件事你都能做到了吗——判断该不该取对数 ✓ 写出三种 lm() 并各说一句读法 ✓ 给 log(y) 模型做完预测并还原 ✓ 说清参照组与 \(k-1\) ✓ 判断两张表能不能比 R² ✓ 用 initial_split() 算测试集 RMSE

3 分钟。收条时抽看两份：凡是答"因为 R² 越大越好"的，下次上课前订正。

课后作业与下讲预告

实验报告 9

• 实验报告 9已单独发布
• 课程论文，题目、数据、提交格式与截止时间以任务单为准。

第22讲：学期总复习与期末备考

• 五大项目知识地图串讲：基础R → 数据准备 → 数据清洗 → 数据可视化 → 线性回归
• 一条链路端到端演示：lm() 的写法、读法、比法、验法
• 期末卷型、高频考点与易错点清单

谢谢！

第21讲：虚拟变量、对数变换与随机抽样 —— 项目五收口

让线性回归解决非线性问题；让分类变量进入回归模型。

朱 奇 ｜ 锦城大学 · 财会学院