数据挖掘与R语言
第10讲：简单线性回归
2026年04月29日
弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）
Francis Galton（1822—1911）
- 英国统计学家、博学家，达尔文的表弟
- 对人类遗传学痴迷，尤其着迷于"高个子的父母亲，子女会有多高？"
- 收集了205个家庭中928名成年子女 的父母子女身高数据
他的发现让他惊讶：
父母亲极高 → 子女通常会比父母亲矮一些
父母亲极矮 → 子女通常会比父母亲高一些
子女的身高总是倾向于向平均值靠拢。
注记
高尔顿的原文（1886）：
"Regression towards Mediocrity in Hereditary Stature"
《遗传身高向均值的回归》
发表于 Journal of the Anthropological Institute
这是"回归"（Regression）这个词的第一次出现。
高尔顿的数据：父子身高
核心思想：用直线描述关系
看到散点图，我们想画一条直线来概括趋势：
这条直线的方程就是简单线性回归方程：
\[\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x\]
斜率的直觉
\(\hat{\beta}_1 > 0\)（正斜率）
广告费多 → 销量多
\(\hat{\beta}_1 < 0\)（负斜率）
车越重 → 油耗越高（每加仑的行驶里程越短）
问题：哪条线最好？
答案：让所有点到直线的距离之和最小的那条线！
用一张图记住所有输出
第一步：先画图，再建模
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提示
原则：永远先画散点图，再建模型。 如果散点图呈现非线性（如 U 形、指数型），直接套线性回归就会出错。
可视化两种区间
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# 生成预测数据
pred_range <- data.frame(广告费 = seq(5, 55, length.out = 100))
conf_int <- predict(ad_model, newdata = pred_range, interval = "confidence")
pred_int <- predict(ad_model, newdata = pred_range, interval = "prediction")
plot_df <- bind_cols(pred_range,
as.data.frame(conf_int) |> rename(fit=fit, conf_lwr=lwr, conf_upr=upr),
as.data.frame(pred_int) |> select(pred_lwr=lwr, pred_upr=upr))
ggplot(plot_df, aes(x = 广告费)) +
geom_ribbon(aes(ymin = pred_lwr, ymax = pred_upr),
fill = "#4472C4", alpha = 0.15) +
geom_ribbon(aes(ymin = conf_lwr, ymax = conf_upr),
fill = "#e05c2a", alpha = 0.3) +
geom_line(aes(y = fit), color = "#e05c2a", linewidth = 1.3) +
geom_point(data = ad_data, aes(x = 广告费, y = 销量),
size = 3, color = "#1a3a5c") +
annotate("text", x = 8, y = 90,
label = "蓝色宽带：预测区间（单次实际值）", color = "#4472C4",
hjust = 0, size = 3.5) +
annotate("text", x = 8, y = 85,
label = "橙色窄带：置信区间（均值范围）", color = "#e05c2a",
hjust = 0, size = 3.5) +
labs(
title = "回归预测的两种区间",
subtitle = "预测区间 ⊃ 置信区间：前者更宽，因为包含了个体随机误差",
x = "广告费（万元）", y = "销量（万件）"
)
外推预测的风险
重要
不要在数据范围之外随意外推！
我们的数据只覆盖广告费 12—40 万元的范围。预测广告费 = 200 万元时的销量，完全是在猜测——市场可能早就饱和了。
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