数据挖掘与R语言

第20讲：K均值聚类（K-Means Clustering）

朱 奇

2026年06月05日

上讲回顾

• 标准化是生命线：量纲差异 > 10 倍时，不标准化的聚类必然失真；scale() 是黄金法则
• 聚类画像三步法：计算聚类中心 → 横向对比关键指标 → 用业务语言命名群体
• 层次聚类的局限：计算复杂度为 \(O(n^2)\)，样本量超过几千时运算极慢
• 今天的主题：K均值聚类——预先指定 k 个中心，通过迭代优化，更适合大数据集

本讲内容

• Part 1：K均值聚类概览 ——与层次聚类的关系与区别
• Part 2：K均值算法原理 ——六步逐步迭代推导（完整手算示例）
• Part 3：k 值的选择 ——肘部法则与轮廓系数
• Part 4：R 语言实现 ——kmeans、可视化与结果解读
• Part 5：mtcars 聚类实训 ——用内置数据集走完完整分析流程
• Part 6：小结 ——层次聚类 vs K均值聚类并排对比

Part 1：K均值聚类概览

从层次聚类到划分聚类的跨越

为什么需要 K均值聚类？

场景：你有 10 万条客户交易记录，需要快速分群

• 层次聚类的瓶颈：计算 \(n \times n\) 距离矩阵，\(n=100,000\) 时需存储 \(10^{10}\) 个数值——内存爆炸
• K均值的优势：只需计算每个样本到 k 个中心的距离，复杂度仅为 \(O(n \cdot k \cdot t)\)（t=迭代次数）
• 代价：必须预先指定 k 值；结果依赖初始随机中心；对非球形簇效果欠佳

提示

K均值 vs 层次聚类——最核心的区别

	层次聚类	K均值聚类
需要预设 k	❌ 不需要	✅ 必须预设
输出形式	谱系图（树状结构）	k 个簇的分配标签
计算复杂度	\(O(n^2)\) 至 \(O(n^3)\)	\(O(n \cdot k \cdot t)\)
适合数据量	小样本（< 5000）	大数据集（百万级可行）
能否撤销合并	❌ 一旦合并不可逆	✅ 每轮迭代可重新分配

K均值聚类的核心思想

目标：找到 k 个"最优中心点"，使每个样本到其所属中心的距离之和最小

注记

WCSS（Within-Cluster Sum of Squares）：簇内平方和，是衡量聚类质量的核心指标。WCSS 越小，说明每个簇内的样本越紧凑、越相似。

Part 2：K均值算法原理

迭代优化：从随机初始化到稳定收敛

K均值算法的四个步骤

算法核心：反复"分配—更新—再分配"，直到中心不再移动

重要

关键数学保证：每次"分配+更新"循环后，WCSS 单调不增——算法一定会收敛，但不一定收敛到全局最优（可能是局部最优）。因此实践中通常运行多次（nstart=25），取WCSS最小的结果。

初始状态（6个点，k=2）

数据：6个二维点（A–F），目标：用 K均值聚为 2 组

第 1 轮分配

以真实样本 A 和 C 作为初始质心 设定初始质心：μ₁ 选定 A(1.0, 1.5)，μ₂ 选定 C(3.0, 3.5)。右侧远端样本因距离原因暂归属于 C

警告

当前临时聚类状态：簇1 = {A, B}，簇2 = {C, D, E, F}。由于右侧三个高坐标点的强力拉扯，橙色组的几何中心即将会发生剧烈漂移！

第 1 轮更新

右侧高值引发橙色质心“大漂移”，重新计算两簇的均值坐标，橙色质心被大幅度拉向右上方，与 C 点彻底拉开距离

第 2 轮分配

边界样本 C 的“戏剧性反转”，用全新质心重新度量距离：橙色质心离 C 变远了！C 点果断脱离橙色组，重新回归蓝色大家庭！

第 3 轮验证

再无成员变动，迭代完美终止。

最终状态：质心不再移动，算法完美收敛！

重要

K均值算法完整回顾：随机初始化 → 分配（1步）→ 更新质心 → 再分配（1步，结果不变）→ 收敛。
本例最终 WCSS = 12.33，两个簇完美分离，聚类效果极佳。

Part 3：k 值的选择

肘部法则：让数据告诉你最佳 k 值

肘部法则（Elbow Method）

核心思路：k 增大 → WCSS 必然下降；找"下降速度骤减"的拐点

轮廓系数（Silhouette Score）

轮廓系数：同时考虑"簇内紧凑度"与"簇间分离度"，是更严格的评估指标

\[s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max\{a(i), b(i)\}}\]

提示

实践建议：同时使用肘部法则（看 WCSS 拐点）和轮廓系数（取最大值对应的 k）；若二者结论一致，则该 k 值可信度更高。

Part 4：R 语言实现

scale → kmeans → plot → 解读结果

核心代码：五步走

数据集：R 内置 mtcars（汽车性能数据集）

变量	中文名	说明
mpg	油耗（英里/加仑）	越大越省油
hp	马力	发动机功率
wt	车重（1000磅）	车辆自重
qsec	1/4英里用时（秒）	加速性能
disp	排量（立方英寸）	发动机大小

共32辆汽车；实训中不使用气缸数 cyl 列，聚类完成后用它验证。

# ── Step 1：选取数值列（不含气缸数 cyl）──────────────────────
data(mtcars)
mtcars_num <- mtcars[, c("mpg","hp","wt","qsec","disp")]

# ── Step 2：标准化（必须！各变量量纲差异较大）──────────────────
mtcars_scaled <- scale(mtcars_num)

# ── Step 3：肘部法则选择 k ──────────────────────────────────────
library(factoextra)
library(ggplot2)
fviz_nbclust(mtcars_scaled, kmeans, method = "wss")
fviz_nbclust(mtcars_scaled, kmeans, method = "silhouette")


# ── Step 4：执行 K均值聚类（k=3, nstart=25）────────────────────
set.seed(123)
km_result <- kmeans(mtcars_scaled, centers = 3, nstart = 25)

# ── Step 5：查看结果 ────────────────────────────────────────────
km_result$centers       # 各簇质心（标准化空间）
km_result$size          # 各簇样本数
km_result$tot.withinss  # 总 WCSS



# ── Step 6：结果可视化────────────────────────────

fviz_cluster(km_result, data = mtcars_scaled)

注记

nstart=25 的意义：运行25次随机初始化，每次得到一个局部最优解，最终返回 WCSS 最小的结果。计算成本很低（mtcars 只有32行），但可以大幅提升结果的稳定性与全局最优性。

Part 5：本讲小结

层次聚类 vs K均值聚类——全面对比

层次聚类 vs K均值聚类：并排对比

两种方法的适用场景与选择建议

提示

黄金组合：先用层次聚类在小样本上探索最优 k 值（看谱系图），再用K均值在全量数据上高效执行。两步走，兼顾准确性与计算效率。

本讲小结

• K均值目标：最小化 WCSS（簇内平方和）；算法保证单调收敛，但可能是局部最优

• 四步迭代：随机初始化 k 个质心 → 分配（最近质心原则）→ 更新（重算质心均值）→ 判断收敛；nstart=25 多次运行取最优

• k 值选择：肘部法则（WCSS 拐点）+ 轮廓系数（最大化 \(s(i)\)）双重验证，结合领域知识

• R 核心代码：scale → kmeans(nstart=25) → 查看 $centers/$size/$tot.withinss → table() 验证

• mtcars 实训：k=3 时自动发现省油小车 / 均衡中车 / 高性能跑车三类，与气缸数高度吻合

• vs 层次聚类：K均值更快（\(O(nkt)\)）、更适合大数据、可迭代纠错；但需预设 k，对球形以外的簇效果有限

• 互补策略：先用层次聚类探索 k → 再用 K均值处理全量数据，是实战中的黄金组合

作业

用R内置数据iris进行K均值聚类

数据标准化

iris_scaled <- scale(iris[,1:4])
head(iris_scaled)

     Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
[1,]      -0.8977     1.01560       -1.336      -1.311
[2,]      -1.1392    -0.13154       -1.336      -1.311
[3,]      -1.3807     0.32732       -1.392      -1.311
[4,]      -1.5015     0.09789       -1.279      -1.311
[5,]      -1.0184     1.24503       -1.336      -1.311
[6,]      -0.5354     1.93331       -1.166      -1.049

确定最佳 k 值

library(factoextra)
library(ggplot2)
fviz_nbclust(iris_scaled, kmeans, method = "wss")

fviz_nbclust(iris_scaled, kmeans, method = "silhouette")

执行 K 均值聚类（k=3）

set.seed(123)
km_iris <- kmeans(iris_scaled, centers = 3, nstart = 25)
table(km_iris$cluster)

 1  2  3 
50 53 47 

结果可视化

fviz_cluster(km_iris, data = iris_scaled)

可视化：用 Murder（x轴）和 Assault（y轴）绘制散点图，颜色区分聚类

library(ggplot2)
ggplot(arrests_clustered,
       aes(x = Murder, y = Assault,
           color = factor(cluster), label = rownames(USArrests))) +
  geom_point(size = 3) +
  geom_text(vjust = -0.6, size = 2.5) +
  scale_color_manual(values = c("#4472C4","#e05c2a","#2eab6e"),
                     name = "聚类") +
  labs(title = "美国各州犯罪率 K 均值聚类（k=3）",
       x = "谋杀率（Murder）", y = "袭击率（Assault）")

思考：根据各簇的均值特征，为三类州起一个合适的名字（如"高犯罪率州"等），并说明理由。

谢谢！

第20讲：K均值聚类（K-Means Clustering）

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「K均值的智慧在于：不停地问每一个点——'你现在的归属，真的是你最近的家吗？'——直到所有点都满意为止。」

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